Posts tagged Mandelbrotov skup

Fraktalna dimenzija. Poznato je da tačka ima nula dimenzija, linija jednu, ravan dve, a svet oko nas, onako kako ga mi svakodnevno posmatramo, tri dimenzije. Ovde govorimo najpre o topološkoj dimenziji. Zamislimo sada jednu liniju. Ukoliko je dupliramo u jednom (i jedinom, jer linija ima jednu dimenziju) postojećem pravcu, dobićemo duplo veći od polaznog objekta. Ukoliko kvadrat u ravni dupliramo u svakoj mogućoj dimenziji (duplo povećamo stranice kvadrata), dobićemo četiri puta veći objekat. Sličnim postupkom za kocku u prostoru dobićemo kocku osam puta veću. Dakle, ukoliko uzmemo objekat linearne dužine jednake 1 u D-dimenzionalnom prostoru i smanjimo njegovu veličinu l puta u svakoj od dimenzija, biće nam potrebno dobijenih smanjenih objekata da samoslično pokrijemo početni objekat. Odatle, topološka dimenzija posmatranog prostora data je sa , gde je , recimo, prirodni logaritam ili logaritam sa osnovom 10.

Matematički prostor koji je najbliži našim shvatanjima jeste trodimenzionalni prostor Euklidske geometrije. U Euklidskom prostoru razdaljina između dve tačke je obična prava linija. U matematici postoji uopštenje ovog prostora, metrički prostor koji je definisan skupom i razdaljinom između elemenata skupa. Odabirom te razdaljine, odnosno metrike, možemo kreirati različite oblike prostora. Tako, naprimer, Rimanova geometrija proučava zakrivljeni prostor koji predviđa Opšta teorija relativnosti. U ovakvim, drugačijim prostorima, topološka dimenzija takođe ima svoje uopštenje. Hauzdorfova (ili Hauzdorf-Besicovič) dimenzija je nenegativni realni broj koji se može povezati sa bilo kojim metričkim prostorom. Hauzdorfova dimenzija tačke je, kao i topološka, jednaka nuli, za liniju je jedan, a za ravan dva itd. Međutim, Hauzdorfova dimenzija može imati i vrednosti između celih brojeva za mnoge nepravilne skupove metričkih prostora, pa tako i za samoslične skupove – fraktale. Hauzdorfovu dimenziju kod fraktala nazivamo još i fraktalna dimenzija. More >