Svoju knjigu „Fraktali svuda“ Majkl Barnsli s pravom započinje rečima: „Fraktalna geometrija učiniće da sve posmatrate drugačije. Postoji opasnost u daljem čitanju. Rizikujete da izgubite svoje dečje poglede na oblake, šume, galaksije, lišće, pera, cveće, kamenje, planine…“

Uistinu, fraktali su svuda oko nas. Ne samo u obliku i izgledu stvari koje nas okružuju, već i u samoj srži raznih fenomena, u funkcijama koje opisuju jednostavnije i kompleksnije sisteme i procese. Veoma važnu primenu našli su u teoriji haosa. Naravno, umetnost ih takođe iskorišćava do krajnjih granica.

Ne postoji jedinstvena, sveobuhvatna definicija fraktala. Verovatno najbliža bi bila ona koju je dao zvanični začetnik matematičke oblasti koja se bavi fraktalima, Benoa Mandelbrot: “Hrapav ili izlomljeni geometrijski oblik koji može biti podeljen u delove, od kojih je svaki (barem približno) umanjena kopija celine“. Ovu osobinu fraktala nazivamo samosličnost. Mandelbrot je takođe ovim čudnovatim oblicima dao ime fraktali, od latinske reči fractus što znači „slomljen“ ili „izlomljen“. Uopšteno se može reći i da je fraktal granični skup tačaka dobijen iterativnim (ponovljenim) jednostavno zadatim procesom. Operacija se formalno ponavlja do u beskonačnost, a u realnom okruženju do određenog nivoa detalja. Postoji još nekoliko bitnih osobina fraktala, od kojih ih svaka delom definiše.

Teoretski, fraktali poseduju detaljnu strukturu na proizvoljno odabranoj veličinskoj skali. To znači da, što više uvećavamo deo slike nekog fraktala, slika i dalje zadržava finu, detaljnu strukturu. U realnim objektima ova osobina ipak nije u potpunosti ispunjena, fraktalna struktura ograničena je najkasnije na atomskoj ili molekulskoj skali. Pri konstrukciji i iscrtavanju fraktala na računaru, ograničeni smo određenom rezolucijom zbog konačno velike memorije računara. Takođe, fraktali se, zbog svoje neobičnosti, ne mogu lako opisati Euklidskom geometrijom.

Obim i površina

Iako na prvi pomen zvuči kao neverovatan paradoks, kod fraktalnih oblika konačno velika površina ograničena je beskonačno velikim obimom. Dokažimo ovu tvrdnju za Kohovu krivu. Neka je dužina početne linije pri konstrukciji ove krive jednaka a. U idućem koraku dužina krive biće  , jer smo oduzeli jednu trećinu linije, a dodali dve trećine. Nakon drugog koraka obim linije biće i tako dalje. Možemo uočiti da se obim linije povećava po stepenoj zavisnosti od broja izvedenih koraka: , a granična vrednost stepene funkcije u pozitivnoj beskonačnosti za osnovu veću od 1 ne postoji, odnosno, ova funkcija raste u beskonačnost.

Sa druge strane, ukoliko sada sa a obeležimo jednu trećinu početne linije, površina trougla dobijenog u prvom koraku iznosiće . Površina dodata u drugom koraku iznosiće , gde je dužina novih, manjih trouglova, a množenje brojem 4 proističe iz toga da dodajemo 4 nova trougla. Uočićemo da se površina trenutno dodatih trouglova povećava svaki put puta. Površina Kohove krive biće jednaka , odnosno zbiru površine početnog trougla i zbira članova geometrijskog niza sa beskonačno mnogo članova. Početni član tog geometrijskog niza jeste , gde je A površina početnog trougla, a količnik niza . Ovaj niz konvergira i ima svoju graničnu vrednost. Konačno, površina Kohove krive težiće konačnoj vrednosti od .

Samosličnost

U geometriji, dve figure su slične ukoliko su istog oblika. Dva kvadrata su uvek slična. Dva pravougaonika kod kojih je razmera stranica ista, takođe. Kod trouglova su nam poznati stavovi po kojima zaključujemo da su dva trougla slična, itd. Samosličnost možemo definisati kao osobinu figura da su određeni manji delovi te figure slični figuri u celini, apsolutno ili približno. Fraktali mogu biti potpuno samoslični, odnosno identični na različitim veličinskim skalama, poput Kohovih i fraktala Sjerpinskog. Mogu biti i kvazisamoslični, poput Mandelbrotovog skupa (o kome će biti više reči kasnije). Takvi fraktali su približno, ali ne istovetno identični na različitim skalama. Na kraju, postoje i statistički samoslični fraktali, često stvoreni na osnovu nekih slučajnih procesa, pri čemu uvek postoji određena veličina, odnosno mera, čija vrednost ostaje ista na različitim skalama.

Iako smo na početku naveli Mandelbrotovu definiciju fraktala na osnovu samosličnosti, nisu svi samoslični objekti ujedno i fraktali (npr. obična prava linija). Sam Mandelbrot termin fraktal uveo je na osnovu jedne podjednako bitne osobine fraktala – fraktalne dimenzije.

Nastaviće se…